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向量代数与空间解析几何

向量代数与空间解析几何

第一节：向量

一、空间直角坐标系

1.坐标系

2.距离

1.平面

d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

2.空间

d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}

3.空间点的对称性

\begin{matrix} 关 于 点 对 称 \\ p (a, b, c) {\begin{cases} 关 于 x 轴 对 称 & (a, - b, - c) \\ 关 于 y 轴 对 称 & (- a, - b, c) \\ 关 于 z 轴 对 称 & (- a, - b, c) \end{cases} \end{matrix}

关于谁对称，谁不变，其他的取相反数

\begin{matrix} 关 于 面 对 称 \\ p (a, b, c) {\begin{cases} 关 于 x O y 面 对 称 & (a, b, - c) \\ 关 于 y O z 面 对 称 & (- a, b, c) \\ 关 于 x O z 面 对 称 & (a, - b, c) \end{cases} \end{matrix}

缺哪个轴，哪个轴取相反数

\begin{matrix} 关 于 原 点 对 称 \\ p (a, b, c) \Rightarrow (- a, - b, - c) \end{matrix}

全部取相反数

二、向量的概念

1.定义

既有大小又有方向的量

2.向量的表示方法

\begin{matrix} 从 A (x_{1}, y_{1}, z_{1}) 为 起 点 ， 以 B (x_{2}, y_{2}, z_{2}) 为 终 点 的 向 量 \\ A B = {\begin{matrix} x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1} \end{matrix}} \end{matrix}

终点坐标减去起点坐标

3.向量的大小：模

\begin{matrix} | \vec{a} | = \sqrt{(a_{x})^{2} + (a_{y})^{2} + (a_{z})^{2}} \\ | \vec{A B} | = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}} \end{matrix}

4.单位向量

单位向量：模长为1的向量

\begin{matrix} a 的 单 位 向 量 ： \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} \\ 与 a 同 向 平 行 的 单 位 向 量 ： \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} \\ 与 a 反 向 平 行 的 单 位 向 量 ： - \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} \\ 与 a 平 行 的 单 位 向 量 ： \pm \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} \end{matrix}

5.方向角与方向余弦

1.定义

方向角：向量与3个坐标轴的正向夹角

(α, β, γ)

方向余弦：方向角的余弦值

(c o s α, c o s β, c o s γ)

2.已知向量求方向余弦

\begin{matrix} c o s α = \frac{a_{x}}{| \vec{a} |} \\ c o s β = \frac{a_{y}}{| \vec{a} |} \\ c o s γ = \frac{a_{z}}{| \vec{a} |} \end{matrix}

3.方向余弦的关系

c o s^{2} α + c o s^{2} β + c o s^{2} γ = 1

三、向量的运算

1.线性运算

\begin{matrix} \vec{a} \pm \vec{b} = {\begin{matrix} a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3} \end{matrix}} \\ k \vec{a} = {\begin{matrix} k a_{1}, k a_{2}, k a_{3} \end{matrix}} \end{matrix}

2.数量积

数量积（点乘）：结果为数

记 作 \vec{a} · \vec{b}

1.线性运算

\begin{matrix} \vec{a} · \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | c o s < \vec{a} · \vec{b} > \\ 注 ： c o s < \vec{a} · \vec{b} > 为 \vec{a} · \vec{b} 之 间 的 夹 角 \\ \vec{a} · \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \end{matrix}

2.向量的夹角

c o s θ = \frac{\vec{a} · \vec{b}}{\vec{| a |} · \vec{| b |}}

3.向量积

1.定义

向量积（叉乘）：结果为向量

记 作 \vec{a} \times \vec{b}

大小定义

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | s i n θ

方向定义

\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} \\ 既 垂 直 于 \vec{a} 又 垂 直 于 \vec{b} \end{matrix}

2.向量积的计算

\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \\ = \vec{i} | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | - \vec{j} | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | + \vec{k} | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \\ = \vec{i} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) - \vec{j} (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) + \vec{k} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \end{matrix}

3.向量积的几何意义

\begin{matrix} S_{▱} = \vec{| a} \times \vec{b |} \\ S △ = \frac{1}{2} \vec{| a} \times \vec{b |} \\ S △ A B C = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | \end{matrix}

4.性质

\begin{matrix} \vec{a} · \vec{a} = (\vec{a})^{2} = | \vec{a} |^{2} \\ \vec{a} \times \vec{a} = 0 \\ \vec{a} · \vec{b} = \vec{b} · \vec{a} \\ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} \end{matrix}

四、向量之间的关系

\begin{matrix} \vec{a} 在 \vec{b} 上 的 投 影 ： \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} = | \vec{a} | c o s θ \\ \vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} · \vec{b} = 0 \\ \vec{a} / / \vec{b} ⟺ {\begin{cases} \vec{a} \times \vec{b} = 0 \\ \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} = k \\ \vec{a} = k \vec{b} \end{cases} \end{matrix}

第二节：空间平面与直线

一、方程

1.空间平面方程

1.点法式

\begin{matrix} 点 M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) 法 向 量 \vec{n} = {\begin{matrix} A, B, C \end{matrix}} \\ A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + B (z - z_{0}) = 0 \end{matrix}

2.一般式

\begin{matrix} 法 向 量 \vec{n} = {\begin{matrix} A, B, C \end{matrix}} \\ A x + B y + C z + D = 0 \end{matrix}

3.特别

\begin{matrix} 平 面 过 原 点 ： A x + B y + C z = 0 \\ 平 面 平 行 于 x 轴 ： B y + C z + D = 0 \\ 平 面 平 行 于 y 轴 ： A x + C z + D = 0 \\ 平 面 平 行 于 z 轴 ： A x + B y + D = 0 \\ 平 面 经 过 于 x 轴 ： B y + C z = 0 \\ 平 面 经 过 于 y 轴 ： A x + C z = 0 \\ 平 面 经 过 于 z 轴 ： A x + B y = 0 \\ 平 面 平 行 x O y 面 ： C z + D = 0 \\ 平 面 平 行 y O z 面 ： A x + D = 0 \\ 平 面 平 行 x O z 面 ： B y + D = 0 \end{matrix}

2.空间直线方程

1.点向式方程

\begin{matrix} 点 M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) 方 向 向 量 \vec{s} = {\begin{matrix} a, b, c \end{matrix}} \\ \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} \end{matrix}

2.两点式方程

\begin{matrix} 点 M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) 点 M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \\ \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} \end{matrix}

3.参数方程

{\begin{cases} x = a t + x_{0} \\ y = b t + y_{0} \\ z = c t + z_{0} \end{cases}

4.一般式方程

\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix}

二、位置关系

1.两平面之间的位置关系

\begin{matrix} 判 断 平 面 \prod_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 与 平 面 \prod_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 的 位 置 关 系 \end{matrix}

1.写出对应的法向量

\vec{n_{1}} = {\begin{matrix} A_{1}, B_{1}, C_{1} \end{matrix}} \vec{n_{2}} = {\begin{matrix} A_{2}, B_{2}, C_{2} \end{matrix}}

2.判断是否成比例

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = k

2.1.如果成比例

{\begin{cases} \frac{D_{1}}{D_{2}} = k \prod_{1} 与 \prod_{2} 重 合 \\ \frac{D_{1}}{D_{2}} \neq k \prod_{1} / / \prod_{2} \end{cases}

3.如果不成比例

\begin{matrix} \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} {\begin{cases} = 0 \prod_{1} 垂 直 \prod_{2} \\ \neq 0 \prod_{1} 与 \prod_{2} 相 交 但 不 垂 直 （ 斜 交 ） \end{cases} \end{matrix}

2.两直线之间的位置关系

\begin{matrix} 判 断 直 线 l_{1} : \frac{x - x_{1}}{a_{1}} = \frac{y - y_{1}}{b_{1}} = \frac{z - z_{1}}{c_{1}} 与 直 线 l_{2} : \frac{x - x_{2}}{a_{2}} = \frac{y - y_{2}}{b_{2}} = \frac{z - z_{2}}{c_{2}} 的 位 置 关 系 \end{matrix}

1.写出对应的方向向量

\vec{s_{1}} = {\begin{matrix} a_{1}, b_{1}, c_{1} \end{matrix}} \vec{s_{2}} = {\begin{matrix} a_{2}, b_{2}, c_{2} \end{matrix}}

2.判断是否成比例

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k

2.1.如果成比例

\begin{matrix} 在 l_{1} 上 取 一 点 代 入 l_{2} {\begin{cases} 成 立 ： l_{1} 与 l_{2} 重 合 \\ 不 成 立 ： l_{1} 与 l_{2} 平 行 \end{cases} \end{matrix}

3.如果不成比例

\begin{matrix} \vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}} {\begin{cases} = 0 l_{1} 垂 直 l_{2} \\ \neq 0 l_{1} 与 l_{2} 相 交 但 不 垂 直 （ 斜 交 ） \end{cases} \end{matrix}

3.直线与平面之间的位置关系

\begin{matrix} 判 断 直 线 : \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} 与 平 面 : A x + B y + C z + D = 0 的 位 置 关 系 \end{matrix}

1.写出对应的向量

\vec{s} = {\begin{matrix} a, b, c \end{matrix}} \vec{n} = {\begin{matrix} A, B, C \end{matrix}}

2.判断是否成比例

\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = k

2.1.如果成比例

直 线 ⊥ 平 面

3.如果不成比例

\begin{matrix} \vec{s} \cdot \vec{n} {\begin{cases} = 0 ⟹ 直 线 中 取 一 点 代 入 平 面 {\begin{cases} 成 立 线 在 面 内 \\ 不 成 立 直 线 / / 平 面 \end{cases} \\ \neq 0 相 交 但 不 垂 直 （ 斜 交 ） \end{cases} \end{matrix}

三、距离问题

1.点到面的距离

\begin{matrix} 点 (x_{0}, y_{0}, z_{0}) 到 平 面 : A x + B y + C z + D = 0 的 距 离 \\ d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + b^{2} + C^{2}}} \end{matrix}

2.两个平行平面的距离

\begin{matrix} 平 面 \prod_{1} : A x + B y + C z + D_{1} = 0 平 面 \prod_{2} : A x + B y + C z + D_{2} = 0 \\ d = \frac{| D_{1} - D_{2} |}{\sqrt{A^{2} + b^{2} + C^{2}}} \end{matrix}

四、夹角问题

1.两个平面的夹角

c o s θ = \frac{| \vec{n_{1}} · \vec{n_{2}} |}{\vec{| n_{1} |} \vec{| n_{2} |}} (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})

2.两个直线的夹角

c o s θ = \frac{| \vec{s_{1}} · \vec{s_{2}} |}{\vec{| s_{1} |} \vec{| s_{2} |}} (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})

3.直线与平面的夹角

s i n θ = \frac{| \vec{s} · \vec{n} |}{\vec{| s |} \vec{| n |}} (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})

最后编辑于: 2024 年 11 月 19 日